Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có : \(\dfrac{2n+\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}}=\dfrac{\left(2n+\sqrt{n^2-1}\right)\left(\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}\right)}{-2}\)
\(=\dfrac{2n\sqrt{n-1}+2n\sqrt{n+1}+\left(n-1\right)\sqrt{n+1}+\left(n+1\right)\sqrt{n-1}}{-2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{n-1}\left(3n+1\right)+\sqrt{n+1}\left(3n-1\right)}{-2}\)
chung mẫu hết rồi cộng lại
lm lại nha :
ta có : \(\dfrac{2n+\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}}\) \(=\dfrac{\left(2n+\sqrt{n^2-1}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)}{2}\)
\(=\dfrac{2n\sqrt{n+1}-2n\sqrt{n-1}+\left(n+1\right)\sqrt{n-1}-\left(n-1\right)\sqrt{n+1}}{2}\)
\(=\dfrac{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}-\left(n-1\right)\sqrt{n-1}}{2}\) cộng lại ...................
Biểu thức S có dạng: S = 4 + √31 + √3 + 8 + √15√3 + √5 + ... + 240 + √14399√119 + √121
Đặt a = √3, b = √5, c = √7, d = √9, ...
Khi đó, dãy S có thể viết lại dưới dạng: S = 4 + a^2 + a + 8 + ab + b + ... + 240 + abcd + cd + √121
Dãy con thứ nhất: 4 + a^2 + a + 8 Tổng của dãy con này là 12 + a^2 + a.
Dãy con thứ hai: ab + b Tổng của dãy con này là b(a + 1).
Dãy con thứ ba: ... Tiếp tục tương tự cho các dãy con tiếp theo.
Cuối cùng, ta sẽ có công thức tổng quát cho dãy S: S = (12 + a^2 + a) + b(a + 1) + c(b + 1) + d(c + 1) + ... + 240 + abcd + cd + √121
Câu a : Ta có :
\(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\dfrac{1-\sqrt{2}}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)}=\dfrac{1-\sqrt{2}}{1-2}=\dfrac{1-\sqrt{2}}{-1}=-1+\sqrt{2}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
.....................
\(\dfrac{1}{\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2}}=\dfrac{\sqrt{n^2-1}-\sqrt{n^2}}{\left(\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2}\right)\left(\sqrt{n^2-1}-\sqrt{n^2}\right)}=\dfrac{\sqrt{n^2-1}-\sqrt{n^2}}{-1}=-\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2}\)
Thay vào ta được :
\(S=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2}}=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-...........-\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2}\)
\(=-1+\sqrt{n^2}\)
Câu b:
Đặt biểu thức đã cho là $A$
Ta có:
\(A>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}\right)+...+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-2}+\sqrt{n^2-1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2}}\right)\)
\(\Leftrightarrow A> \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2}}\right)\)
\(\Leftrightarrow A> \frac{1}{2}(n-1)\) (áp dụng cách tính toán phần a)
Lại có:
\(A< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{0+\sqrt{1}}+\frac{1}{1+\sqrt{2}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\right)+....+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-3}+\sqrt{n^2-2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-2}+\sqrt{n^2-1}}\right)\)
\(\Leftrightarrow A< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{0+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{n^2-2}+\sqrt{n^2-1}}\right)\)
\(\Leftrightarrow A< \frac{\sqrt{n^2-1}}{2}\) (áp dụng cách tính toán của phần a)
Vậy \(\frac{\sqrt{n^2-1}}{2}> A> \frac{n-1}{2}\) hay \(\sqrt{t(t+1)}> A> t\) (đặt \(n=2t+1\) )
Mà \(\sqrt{t(t+1)}< \sqrt{(t+1)(t+1)}=t+1\)
Do đó: \(t+1> A> t\)
\(\Rightarrow \lfloor{A}\rfloor=t=\frac{n}{2}\)
